5

La méthode des DCF ?

18 octobre 2015 by

petrus_favicon3dQu'est-ce que la méthode des DCF (Discounted Cash Flow) ? Pourquoi les investisseurs value n'ont pas vraiment besoin de l'utiliser sous sa forme complète ? Et surtout, comment calculer un cash-flow moyen pour une société en croissance ? Voilà les questions auxquelles je vais tenter de répondre. C'est un article qui fait partie d'une série assez technique.

Qu'est-ce que la méthode des DCF ?

C'est facile à énoncer : cela consiste à estimer tous les free cash-flows futurs (FCF) que va générer l'entreprise, à les actualiser, et à considérer que la somme de tous ces FCF actualisés représente une certaine valeur de l'entreprise.

Une quantité d'argent gagnée dans un an a moins de valeur que si elle était gagnée maintenant. Elle vaut (1+t) fois moins, où t est ce qu'on appelle le taux d'actualisation. De même, si on note F_n le FCF de l'année n, alors ce flux actualisé à l'année 0 est F_n / (1+t)^n. La valeur totale V, estimée par la méthode des DCF, s'exprime par la somme des flux sur toutes les années à venir et actualisés à aujourd'hui :

V= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{F_{n}}{(1+t)^{n}}.\quad \quad \quad (1)

La méthode qui semble standard chez les analystes est d'estimer F_n sur quelques années puis de le considérer constant sur les années suivantes jusqu'à l'infini. Estimer les cash flow futurs est une première difficulté. Il faut aussi se donner un taux d'actualisation. Celui-ci est défini comme le "coût moyen pondéré du capital" ou "coût moyen pondéré des ressources de l’entreprise" (capitaux propres et dettes), et il existe une belle formule mathématique pour le calculer. J'avoue que cette notion me paraît un peu floue quand il s'agit d'un particulier qui achète des actions. C'est d'autant plus perturbant que la valeur de V est très sensible à celle de t. Quoiqu'il en soit, nous allons voir que cela a peu d'importance pour l'investisseur value. Mieux vaut faire une évaluation grossière mais réaliste.

Hypothèse du flux constant

Si on fait l'hypothèse que le flux sera constant sur toute la vie de la société, c'est à dire F_n = F_1 (F_1 étant le flux de l'année 1) pour tout n, alors grâce à la formule bien connue de progression géométrique

\sum_{n=0}^{\infty} x^n= \frac{1}{1-x}\quad \quad \mbox{pour tout }x\in]-1,1[, \quad \quad (2)

on trouve

V= \frac{F_{1}}{t}.\quad \quad \quad (3)

Que nous dit cette relation ? Tout d'abord que si on fait l'hypothèse d'un flux constant, il n'est pas utile de calculer la somme de la relation (1) explicitement mais qu'il suffit d'utiliser la relation (3). Celle-ci nous montre que le taux d'actualisation est égal au FCF rapporté à la valeur de l'entreprise (t=F_1/V). Et que si vous payez l'entreprise à un prix P inférieur à sa valeur, votre rendement sur investissement, égal à F_1/P (appelé "FCF yield" par les anglophones), sera (très) supérieur au taux d'actualisation que vous souhaitez, ou plus simplement "assez grand" pour vous.

Pas la peine donc de faire des calculs "compliqués" de DCF, ce que fait "tout un chacun" est bien suffisant :

Comparer le FCF yield au rendement souhaité.                      (A).

Cela suppose que vous ayez réussi à calculer une sorte de flux moyen sur la vie de l'entreprise, ou vu autrement, que le flux actuel reste constant.

Hypothèse d'une croissance constante

Supposons maintenant que le flux croisse à un taux constant c, c'est-à-dire F_n = (1+c) F_{n-1}, et donc F_n = (1+c)^{n-1} F_{1}. Toujours avec la formule de progression géométrique, on obtient l'équation dite de Gordon et Shapiro, pour c<t (la démonstration de cette relation se trouve un peu partout et est à la portée d'un  bachelier scientifique[1] ) :

V= \frac{F_1}{t-c}.\quad \quad \quad (4)

A FCF égal, la valeur d'une société de croissance est donc plus grande qu'une société sans croissance. Il faut ajouter le taux de croissance c au FCF yield pour le comparer au  rendement voulu. C'est pour cette raison que les sociétés de croissance se payent plus cher.

Pour c>t, la valeur V est infinie. Dans la vraie vie, la croissance s'arrête un jour. Voyons cela.

Hypothèse d'une croissance qui s'arrête

Supposons, dans cette dernière partie, que le flux croisse à un taux constant c pendant N années, c'est-à-dire

F_n= (1+c)^{n-1} F_{1} \quad \mbox{pour } n \leq N,\quad \quad \quad (5)

puis devienne constant jusqu'à l'infini, c'est-à-dire

F_n=F_{N}= (1+c)^{N-1} F_{1} \quad \mbox{pour } n \geq N.\quad \quad \quad (6)

La valeur totale s'écrit alors

V= F_1 \sum_{n=1}^{N} \frac{(1+c)^{n-1}}{(1+t)^n}+F_1 \sum_{n=N+1}^{\infty} \frac{(1+c)^{N-1}}{(1+t)^n}.\quad \quad \quad (7)

Une méthode de détermination de cette valeur est de faire le calcul explicite (typiquement avec Excel) des N termes de la première somme, la seconde somme s'exprimant facilement à l'aide de la relation (2).

Mon idée, dans cet article, est plutôt de donner une approximation simple de cette valeur. Supposons toujours c<t.  En complétant la deuxième somme de la relation (7) avec les termes manquant et en la passant en premier, on obtient facilement

V= \frac{F_N}{t}+ F_1 \sum_{n=1}^{N} \frac{(1+c)^{n-1}-(1+c)^{N-1}}{(1+t)^n}.\quad \quad \quad (8)

Le premier terme prend la même forme que celui de la relation (3), c'est celui d'un flux constant F_N à partir de la première année. Il faut donc lui retrancher quelque chose : la somme qui lui fait suite est négative.  En remarquant : (i) qu'il s'agit d'une correction (la somme est souvent petite), (ii) que si N n'est pas trop grand alors l'actualisation ne joue pas beaucoup, (iii) que les termes sur lesquels l'actualisation a le plus d'impact (n proche de N) sont les plus petits, alors on peut, sans faire trop d'erreur, supposer t = 0 dans la somme. Après un développement au premier ordre en c, qui suppose que c et N ne sont pas trop grands, on trouve finalement la relation approchée :

V= \frac{F_N}{t} - N \;\frac{F_N - F_1}{2} . \quad \quad \quad (9)

Cette relation est facile à comprendre. Le premier terme, {F_N}/{t}, correspond à un calcul de DCF qu'on aurait fait avec un flux constant sur toute la vie restante de l'entreprise et avec un flux de l'année N. Il faut donc corriger ce terme des différences entre F_N et F_n pour les quelques années n \leq N. La différence F_N-F_n est en moyenne de (F_N-F_1)/2 et il faut la compter N fois, d'où le deuxième terme.

Conclusion

Les FCF déterminent la valeur des actifs productifs. Par définition les actifs non productifs peuvent être vendus sans grêver les FCF. La valeur totale de la société est donc la somme des cash flows et de la valeur nette des actifs non productifs, ce qu'on peut résumer par  :

Valeur totale de la société = V + cash et équivalents + autres actifs non productifs - dettes financières.

Dit autrement, cette relation indique que V doit être comparée à ce qu'on appelle usuellement la Valeur d'EntrepriseVE (éventuellement diminuée des "autres actifs non productifs" si on en identifie) : si VE < V, le prix à payer sur le marché pour acheter la société est inférieur à sa valeur.

Pourquoi ai-je fait tout cela ? Essentiellement parce que je suis en train d'analyser une société de croissance et que j'avais envie de déterminer un "FCF moyen" pour le futur. La relation (9) montre (en mettant F_N/t en facteur) qu'on peut faire comme si le flux est constant, en utilisant comme flux moyen la valeur suivante :

\mbox{FCF moyen}= F_N \; \left( 1 - \frac{Nt}{2} \left( 1 - \frac{F_1}{F_N}\right) \right).\quad \quad \quad(10)

Exemple. Si la société passe de F_1=5 M€ à F_N=8 M€ de FCF en 6 ans puis stagne, alors on trouve qu'avec un taux d'actualisation de 10 %, le FCF moyen vaut 7,1 M€.

Il suffit alors de calculer le :

FCF yied = (FCF moyen) / P                 (B).

et d'examiner s'il est assez grand pour vous.

En résumé, réservez les formules compliquées aux analystes professionnels, les étapes (A) et (B) sont suffisantes, éventuellement en utilisant l'équation (10).

A l'instar des physiciens, nous nous sommes faits adeptes de l'adage "mieux vaut faire un calcul approximatif et juste qu'un calcul précis et faux".

A bientôt, je l'espère, pour l'analyse d'une société de croissance.

JL - 18 octobre 2015.

Print Friendly, PDF & Email

petrus_favicon_lpl_couleur_rogne

 

 

  1. Après une discussion avec Ben Gramah, je concède qu'il s'agit peut-être d'un élève de mathématiques supérieures. Ce qui pourra d'ailleurs alimenter l'idée que (depuis Jules Ferry) le niveau baisse. []

5 Responses to La méthode des DCF ?

      • Geronimo

        La fin de l'article m'y a fait penser :

        Un homme d'affaires engage un mathématicien, un informaticien et un physicien afin de pouvoir gagner à tous les tiercés.

        Le mathématicien le premier s'attaque à la tâche, il calcule des matrices à n'en plus finir et après de longues semaines de lemmes, théorèmes et conjectures, il conclut que le problème ne peut être résolu.

        L'informaticien après avoir écrit quantités d'algorithmes en C et introduit tous les paramètres et conditions initiales annonce joyeusement qu'il faudra juste quelques centaines d'années pour calculer le résultat de chaque tiercé...

        Le physicien, le sourire aux lèvres, informe ses éminents collègues qu'il a la solution. Il s'approche d'un tableau noir et tout en dessinant une sphère commence par dire : "Approximons le cheval par une sphère parfaite..."

  1. Roman

    Rhoo, et dire encore une fois que vous aviez fait semblant de ne pas comprendre ce que contango voulait dire 🙂 !

    Vous devriez vous intéresser à l'analyse quantitative, vous auriez l'occasion de faire plein de maths !

    Amicalement,

    R.

    • Jerome Leivrek Post author

      Ben non, promis je ne sais pas ce que signifie contango. Du coup je viens d'aller voir la définition : "Le terme contango fait référence à une condition particulière de marché dans laquelle le prix d'un forward ou d'un future s'échange à un prix supérieur au prix spot attendu au moment où la maturité du contrat sera atteinte. La courbe de future ou de forward qui en résulte a alors une pente positive, puisque plus leur maturité est lointaine, plus ces contrats se vendent à des prix élevés."
      Heuuu... ça semble intéressant. 🙂

Laisser un commentaire

Votre adresse de messagerie ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *