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Calculer la performance de son portefeuille

17 juillet 2014 by

holbein_kratzerOn pourrait penser que calculer la performance (que nous appellerons aussi rendement) d'un portefeuille est chose évidente. Pas tant que cela : il y a des méthodes aberrantes et plusieurs méthodes pertinentes.

I. Cas simple, sans apport intermédiaire.

Le seul cas simple est celui où il n'y a qu'un seul apport au portefeuille, l'apport initial. Alors la performance est la différence relative entre le capital final et initial :

r = (Cf - F0) / F0

où :

  • F0 = apport initial au temps 0,
  • Cf = capital final au temps T,
  • r = performance.

Cette performance est la performance période, c'est-à-dire la performance sur l'ensemble de la période T. Pour le ramener à une performance annuelle R1 c'est-à-dire sur un temps T1 = 1 an, il faut l'annualiser, ce qui par définition revient à utiliser la relation fondamentale (où le symbole ^ représente une puissance)

(1+R1)^(1/T1) = (1+r)^(1/T)          (a)

ce qui donne pour calculer R1 :

R1 = (1+r)^(T1/T) - 1

Un rendement est associé à une durée, et on passe d'une durée à une autre par la relation (a). A partir de maintenant, la performance ou le rendement sans autre précision désigneront la performance période.

Notons une autre relation fondamentale. Une somme initiale F0 placée à ce rendement devient après un temps t la somme (le symbole * représente la multiplication) :

Ft = F0 * (1+r)^(t/T) = F0 * (1+R1)^(t/T1)

Exemple. Au 1er juillet 2012 mon portefeuille a une valeur de 5 000 €, au 1er mai 2013 il a une valeur de 5 738 €. Sa performance période est donc r = (5 738 - 5 000) / 5 000 = 14,76 %. Sa performance annualisée est R1 = (1+0,1476)^(12 mois /10 mois) - 1 = 17,96 %. Si la performance continue à ce rythme, au 31 décembre 2013 mon portefeuille vaudra 5 000*(1+0,1476)^(18 mois /10 mois) = 6 406 €.

II. Quand tout se complique

Avec des apports (ou des retraits) intermédiaires tout devient plus complexe. Il y a même des méthodes aberrantes. C'est le cas de la première qui vienne à l'esprit, en définissant encore la performance comme la différence entre le capital final moins le capital initial, divisé par le capital initial.  Imaginons par exemple la situation suivante :

  • t0 : je mets 100 € dans le portefeuille
  • t1 : la valorisation n'a pas changé. Je rajoute 100 €.
  • t2 : la valorisation n'a toujours pas changé.

Avec la définition proposée on trouve que la performance est (200 - 100) / 100 soit 100 %, absurde puisque je n'ai pas gagné d'argent.

Moins absurde semblerait être de faire la différence entre le capital final moins le capital total apporté, divisé par le capital total apporté. Dans l'exemple précédent on trouverait une performance de (200 - 200) / 200 =  0 % comme il se doit.  Mais dans la situation suivante :

  • t0 : je mets 100 € dans le portefeuille
  • t1 : la valorisation monte de 10 %. Je retire 99 €. Le portefeuille vaut 11 €.
  • t2 : la valorisation n'a pas changé.

Avec la définition proposée on trouve que la performance est (11-1)/1 = 1 000 % ce qui n'est pas beaucoup plus raisonnable que la solution précédente. Cela donne des solutions absurdes car nous n'avons pas fait intervenir le temps dans les calculs c'est-a-dire le fait que les capitaux apportés ne travaillent pas sur la même durée.

III. Calcul avec des apports intermédiaires

Dans le cas général il y a essentiellement deux façons de calculer une performance : la performance de la part et la performance globale du portefeuille. Nous nous proposons de définir ce deux approches et d'examiner comment on les calcule.
A. Deux ratios de performance
1. La performance de la part. En français cela s'appelle aussi le Taux de Rentabilité Pondéré par le Temps (TRPT). En anglais Time Weighted Rate of Return (TWRR). Le TRPT comptabilise :

  • la performance d'une sélection d'actions,
  • le gain fait par des prises de plus-values à cours élevé et rachat à cours bas mais ne prend pas en compte l'apport de performance permis par des entrées d'argent sur le portefeuille lorsque les cours sont bas. C'est la performance dont la publication est rendue obligatoire pour les gérants d'OPCVM car on ne souhaite pas juger la performance d'un gérant sur le moment où les épargnants choisissent de souscrire ou racheter leurs parts d'OPCVM. C'est aussi la méthode requise quand entrent ou sortent des membres dans un club d'investissement.

2. La performance globale du portefeuille. En français cela s'appelle aussi le Taux de Retour Interne (TRI), le taux actuarial, le taux effectif de rendement, le taux de rendement actuarial, etc. En anglais Internal Rate of Return (IRR). Ce taux comptabilise les apports au portefeuille et mesure donc la performance du gérant qui maîtrise les flux de capitaux. Cela peut être le cas de certains investisseurs particuliers.

Exemple. Imaginons le résultat suivant sur une période donnée

  • Rendement de la part : +12 %
  • TRI : +10 %
  • Indice de référence : +11 %

Cela signifie que :

  • Part > indice : les valeurs choisies ont mieux performé que l'indice de référence.
  • TRI < indice : les apports ont été faits aux mauvais moments, c'est-à-dire sur valeurs de part élevées.

Il est en effet clair que si vous apportez du capital lorsque la part a une faible valorisation vous gagnerez plus qu'en apportant ce capital sur une part mieux valorisée.

B. Définitions mathématiques

Les ratios reposent tous les deux sur le découpage du temps en n périodes séparées par les apports ou les retraits du portefeuille. Notations : Au temps t0=0 le capital initial C0 est nul, on fait un apport en capital (flux) F0. Du fait des bénéfices ou pertes, au temps t1 le capital est devenu C1, différent de C0. De façon générale, au temps ti (i=1,2,...,n-1), le capital est devenu Ci, on apporte alors Fi (si Fi<0 il s'agit d'un retrait). Immédiatement après le temps ti le capital est donc Ci+Fi. Au temps final T=tn  le capital final est Cf.

1. Définition de la performance de la part. Sur la période ti-1 à ti, la valeur est passée de C(i-1)+F(i-1) à Ci. Le rendement sur cette période est donc

ri = ( Ci - C(i-1) - F(i-1) ) / ( C(i-1)+F(i-1) )

Le TRPT est défini comme le rendement composé :

TRPT = (1+r1)*(1+r2)*(1+r3)*...*(1+rn) - 1. (1)

2. Définition du TRI (performance du portefeuille). L'apport Fi travaille pendant un temps (T-ti), s'il travaille avec un rendement r il devient au temps T la somme Fi * (1+r)^(T-ti)/T. Si tous les apports travaillent avec ce taux alors au temps T on doit avoir le capital :

Cf = somme(i=0 à n) Fi * (1+r)^(T-ti)/T. (2)

Le TRI est défini comme un nombre r solution de cette équation. Il est aussi souvent présenté (c'est équivalent) comme une solution de l'équation :

somme(i=0 à n) Fi / (1+TRI)^ti/T  - Cf / (1+TRI) = 0. (3)

C'est donc le rendement défini par le fait que si tous les apports travaillent avec ce même rendement alors on obtient le capital final.
C. Calcul pratique.
1. TRPT. On peut appliquer la relation (1). Mais le procédé le plus courant pour calculer le TRPT est de raisonner en parts :

  • Au départ on divise le portefeuille en un nombre arbitraire de parts, souvent choisi de telle sorte que la valeur initiale de la part soit 1 ou 100.
  • Tant qu'il n'y a pas d'apport ou de retrait dans le portefeuille, la valeur de la part est donnée par la valeur du portefeuille (qui, elle, fluctue) divisé par le nombre de parts,
  • Lors d'un apport ou de retrait, on augmente ou diminue le nombre de parts de telle sorte que la valeur de la part reste constante. Exemple j'ai 10 parts a 100 € soit 1000 € dans mon portefeuille et j'apporte 250 € (donc = 2,5 parts). Après apport le portefeuille compte donc 12,5 part a 100 € soit 1250 euros.
  • Ensuite, la valeur de la part recommence à fluctuer en fonction du marché.
  • La performance du portefeuille en % est la valeur de la part divisée par la valeur initiale de la part, moins un.
  • Bien sûr cette façon de faire donne le même résultat que la relation (1).

2.TRI. Le calcul du TRI est plus complexe parce que la relation (3) a plusieurs solutions et qu'elle ne peut être résolue que par approximations successives. Heureusement elle est préprogrammée dans OpenOffice Classeur (ou Excel) sous la dénomination TRI.PAIEMENTS (la fonction de base TRI ne fonctionne que pour des apports à intervalles constants) avec la syntaxe TRI.PAIEMENTS(F0 :Fn ;t0 :tn ;estimation) où  estimation (paramètre facultatif) est une estimation a priori du TRI dont la valeur par défaut est 10 %. Attention cette fonction de Excel lit des dates ou des nombres de jours mais donne une performance annualisée. Pour la remettre depuis l'origine, autrement dit sur la période T, il faut faire TRI(T) = (1+TRI) ^ (T/365 jours)-1 ) (T exprimé en jours).

3. Approximation de TRI ou Taux de Rentabilité Pondéré par le Capital (TRPC) ou Taux de Retour Pondéré par les Capitaux Investis (TRPCI). En anglais j'ai l'impression que cela s'appelle Money Weighted Rate of Return  (MWRR) ou Total Return Rate (TRR). Si on suppose que le TRI est petit et que les flux initiaux ne sont pas trop grands devant les flux finaux alors en développant la relation (2) linéairement on trouve que le TRI est proche de

TRPC =  (Cf - somme(i=0 à n) Fi ) / somme(i=0 à n) (T-ti)*Fi / T (4)

Au numérateur on reconnaît le bénéfice net : c'est la somme réellement gagnée ou perdue, au dénominateur ce que l'on appelle capital employé. Ce dernier est la somme des apports de capitaux chacun étant pondéré par le temps passé à travailler. Cette valeur peut être utilisée pour la variable estimation de la fonction TRI.PAIEMENTS.

IV. Exemples

Exemple 1. Considérons le cas suivant :

  • t0 : je mets 100 € dans le portefeuille. La part est a 100 €.
  • t1 : la valeur du portefeuille est montée de 10 % à 110 €. Je rajoute du capital pour une part soit 110 €.
  • t2 : la valeur du portefeuille redescend de 9,09 % pour arriver à 200 €.

Il y a toujours 2 parts dont la valeur est de 100 €, la performance de la part est nulle. J'ai injecté 210 € et ai maintenant 200 €, j'ai donc perdu 10 €. Le TRI est donc négatif. Pour le calculer il faut avoir les valeurs des ti ;  en prenant t0 = 0, t1 = 365, t2 = 730 je trouve TRI(excel) = -3,26 % par an soit TRI = (1-0,0326)^2-1 = -6,41 % sur les deux ans.

Exemple 2. A l'inverse, en apportant du capital à un point bas de la part :

  • t0 : je mets 100 € dans le portefeuille. La part est a 100 €.
  • t1 : la valeur du portefeuille a baissé de 10 % soit 90 €. Je rajoute du capital pour une part soit 90 €.
  • t2 : la valeur du portefeuille remonte de 11,11 % pour arriver à 200 €.

La performance de la part est nulle et j'ai gagné 10 €. En prenant t0 = 0, t1 = 365, t2 = 730 je trouve TRI(excel) = +3,41 % par an soit TRI = +6,93 % sur les deux ans.

Exemple 3. Le tableau suivant montre un cas réel. On voit notamment que la performance de la part peut être négative (-0,14 %) alors que l'on a gagné de l'argent (TRI=0,74 %>0) : c'est parce que l'on a investi plus d'argent quand la part était basse que lorsqu'elle était haute.

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Références

JL - juin 2013.

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2 Responses to Calculer la performance de son portefeuille

  1. Benjamin

    Bonjour,

    Dans votre reporting mensuel, quelle formule appliquez-vous pour calculer la performance annualisée ?

    Autre question : quel intérêt trouvez-vous à garder le CTO BINCK en plus du CTO IB ? Est-ce que seul le CTO IB ne suffirait-il pas ?

    Merci d'avance pour vos réponses.

    Cordialement,

    Benjamin

    • Jerome Leivrek Post author

      Bonjour Benjamin,

      Soit p la performance de la part depuis l'origine, je commence par calculer le nombre d'années (en nombre décimal) depuis l'origine en faisant n = nombre de jours depuis l'origine divisé par 365, puis la performance annualisée est = (1+p)^(1/n) - 1 (le ^ désigne une puissance).

      Il y a deux avantages à garder un CTO Binck : 1. déclarer ses revenus d'un compte IB est compliqué, moins on a de lignes dessus, mieux on se porte (surtout s'il y a des dividendes), 2. Binck donne accès à quelques marchés auxquels on n'a pas accès avec IB (notamment certaines valeurs sur la marché AIM de Londres).

      Bonne soirée,

      JL

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