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La méthode des DCF ?

18 octobre 2015 by

petrus_favicon3dQu’est-ce que la méthode des DCF (Discounted Cash Flow) ? Pourquoi les investisseurs value n’ont pas vraiment besoin de l’utiliser sous sa forme complète ? Et surtout, comment calculer un cash-flow moyen pour une société en croissance ? Voilà les questions auxquelles je vais tenter de répondre. C’est un article qui fait partie d’une série assez technique.

Qu’est-ce que la méthode des DCF ?

C’est facile à énoncer : cela consiste à estimer tous les free cash-flows futurs (FCF) que va générer l’entreprise, à les actualiser, et à considérer que la somme de tous ces FCF actualisés représente une certaine valeur de l’entreprise.

Une quantité d’argent gagnée dans un an a moins de valeur que si elle était gagnée maintenant. Elle vaut (1+t) fois moins, où t est ce qu’on appelle le taux d’actualisation. De même, si on note F_n le FCF de l’année n, alors ce flux actualisé à l’année 0 est F_n / (1+t)^n. La valeur totale V, estimée par la méthode des DCF, s’exprime par la somme des flux sur toutes les années à venir et actualisés à aujourd’hui :

    \[ V= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{F_{n}}{(1+t)^{n}}.\quad \quad \quad (1)\]

La méthode qui semble standard chez les analystes est d’estimer F_n sur quelques années puis de le considérer constant sur les années suivantes jusqu’à l’infini. Estimer les cash flow futurs est une première difficulté. Il faut aussi se donner un taux d’actualisation. Celui-ci est défini comme le “coût moyen pondéré du capital” ou “coût moyen pondéré des ressources de l’entreprise” (capitaux propres et dettes), et il existe une belle formule mathématique pour le calculer. J’avoue que cette notion me paraît un peu floue quand il s’agit d’un particulier qui achète des actions. C’est d’autant plus perturbant que la valeur de V est très sensible à celle de t. Quoiqu’il en soit, nous allons voir que cela a peu d’importance pour l’investisseur value. Mieux vaut faire une évaluation grossière mais réaliste.

Hypothèse du flux constant

Si on fait l’hypothèse que le flux sera constant sur toute la vie de la société, c’est à dire F_n = F_1 (F_1 étant le flux de l’année 1) pour tout n, alors grâce à la formule bien connue de progression géométrique

    \[ \sum_{n=0}^{\infty} x^n= \frac{1}{1-x}\quad \quad \mbox{pour tout }x\in]-1,1[, \quad \quad (2) \]

on trouve

    \[ V= \frac{F_{1}}{t}.\quad \quad \quad (3) \]

Que nous dit cette relation ? Tout d’abord que si on fait l’hypothèse d’un flux constant, il n’est pas utile de calculer la somme de la relation (1) explicitement mais qu’il suffit d’utiliser la relation (3). Celle-ci nous montre que le taux d’actualisation est égal au FCF rapporté à la valeur de l’entreprise (t=F_1/V). Et que si vous payez l’entreprise à un prix P inférieur à sa valeur, votre rendement sur investissement, égal à F_1/P (appelé “FCF yield” par les anglophones), sera (très) supérieur au taux d’actualisation que vous souhaitez, ou plus simplement “assez grand” pour vous.

Pas la peine donc de faire des calculs “compliqués” de DCF, ce que fait “tout un chacun” est bien suffisant :

Comparer le FCF yield au rendement souhaité.                      (A).

Cela suppose que vous ayez réussi à calculer une sorte de flux moyen sur la vie de l’entreprise, ou vu autrement, que le flux actuel reste constant.

Hypothèse d’une croissance constante

Supposons maintenant que le flux croisse à un taux constant c, c’est-à-dire F_n = (1+c) F_{n-1}, et donc F_n = (1+c)^{n-1} F_{1}. Toujours avec la formule de progression géométrique, on obtient l’équation dite de Gordon et Shapiro, pour c<t (la démonstration de cette relation se trouve un peu partout et est à la portée d’un  bachelier scientifique(1) ) :

    \[ V= \frac{F_1}{t-c}.\quad \quad \quad (4) \]

A FCF égal, la valeur d’une société de croissance est donc plus grande qu’une société sans croissance. Il faut ajouter le taux de croissance c au FCF yield pour le comparer au  rendement voulu. C’est pour cette raison que les sociétés de croissance se payent plus cher.

Pour c>t, la valeur V est infinie. Dans la vraie vie, la croissance s’arrête un jour. Voyons cela.

Hypothèse d’une croissance qui s’arrête

Supposons, dans cette dernière partie, que le flux croisse à un taux constant c pendant N années, c’est-à-dire

    \[ F_n= (1+c)^{n-1} F_{1} \quad \mbox{pour } n \leq N,\quad \quad \quad (5) \]

puis devienne constant jusqu’à l’infini, c’est-à-dire

    \[ F_n=F_{N}= (1+c)^{N-1} F_{1} \quad \mbox{pour } n \geq N.\quad \quad \quad (6) \]

La valeur totale s’écrit alors

    \[ V= F_1 \sum_{n=1}^{N} \frac{(1+c)^{n-1}}{(1+t)^n}+F_1 \sum_{n=N+1}^{\infty} \frac{(1+c)^{N-1}}{(1+t)^n}.\quad \quad \quad (7) \]

Une méthode de détermination de cette valeur est de faire le calcul explicite (typiquement avec Excel) des N termes de la première somme, la seconde somme s’exprimant facilement à l’aide de la relation (2). Suite à la suggestion de Bibike (avril 2020, cf commentaires ci-dessous), on peut aussi simplifier cette relation sous une autre forme. En complétant la deuxième somme de la relation (7) avec les termes manquants on arrive à :

    \[ V= F_1 \sum_{n=1}^{N} \frac{(1+c)^{n-1}}{(1+t)^n}+ \frac{F_N}{t} - F_N \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{(1+t)^n}.\quad \quad \quad (7bis) \]

Cette relation s’interprète comme suit : V = flux des N premières années en croissance + formule sans croissance de 1 à l’infini – les N premières années sans croissance.

Elle peut s’écrire cependant de façon encore plus simple :

    \[V= F_1 \sum_{n=1}^{N} \frac{(1+c)^{n-1}}{(1+t)^n}+ \frac{F_N}{t (1+t)^N} .\quad \quad \quad (7ter)  \]

et elle s’interprète comme suit : V = flux des N premières années en croissance + formule sans croissance de 1 à l’infini actualisée de l’année N à maintenant.

Mon idée, dans cet article, est plutôt de donner une approximation simple de cette valeur. Supposons toujours c<t.  En réarrangeant la relation (7bis), on obtient facilement

    \[ V= \frac{F_N}{t}+ F_1 \sum_{n=1}^{N} \frac{(1+c)^{n-1}-(1+c)^{N-1}}{(1+t)^n}.\quad \quad \quad (8) \]

Le premier terme prend la même forme que celui de la relation (3), c’est celui d’un flux constant F_N à partir de la première année. Il faut donc lui retrancher quelque chose : la somme qui lui fait suite est négative.  En remarquant : (i) qu’il s’agit d’une correction (la somme est souvent petite), (ii) que si N n’est pas trop grand alors l’actualisation ne joue pas beaucoup, (iii) que les termes sur lesquels l’actualisation a le plus d’impact (n proche de N) sont les plus petits, alors on peut, sans faire trop d’erreur, supposer t = 0 dans la somme. Après un développement au premier ordre en c, qui suppose que c et N ne sont pas trop grands, on trouve finalement la relation approchée :

    \[V= \frac{F_N}{t} - N \;\frac{F_N - F_1}{2} .  \quad (9)\]

Le premier terme, {F_N}/{t}, correspond à un calcul de DCF qu’on aurait fait avec un flux constant sur toute la vie restante de l’entreprise et avec un flux de l’année N. Il faut donc corriger ce terme des différences entre F_N et F_n pour les quelques années n \leq N. En prenant l’approximation que la différence F_N-F_n varier linéairement, alors elle vaut en moyenne, (F_N-F_1)/2. Il faut la compter N fois, d’où le deuxième terme.

Conclusion

Les FCF déterminent la valeur des actifs productifs. Par définition les actifs non productifs peuvent être vendus sans grêver les FCF. La valeur totale de la société est donc la somme des cash flows et de la valeur nette des actifs non productifs, ce qu’on peut résumer par  :

Valeur totale de la société = V + cash et équivalents + autres actifs non productifs – dettes financières.

Dit autrement, cette relation indique que V doit être comparée à ce qu’on appelle usuellement la Valeur d’EntrepriseVE (éventuellement diminuée des “autres actifs non productifs” si on en identifie) : si VE < V, le prix à payer sur le marché pour acheter la société est inférieur à sa valeur.

Pourquoi ai-je fait tout cela ? Essentiellement parce que je suis en train d’analyser une société de croissance et que j’avais envie de déterminer un “FCF moyen” à mettre simplement dans la relation (3). Il est donc défini par {\rm FCF moyen} = tV. La relation (9) montre (en mettant F_N en facteur) alors que :

    \[{\rm FCF moyen}= F_N \; \left( 1 - \frac{t N}{2} \left( 1 - \frac{F_1}{F_N}\right) \right).\quad \quad \quad (10) \]

Exemple. Si la société passe de F_1=5 M€ à F_N=8 M€ de FCF en 6 ans puis stagne, alors on trouve qu’avec un taux d’actualisation de 10 %, le FCF moyen vaut 7 M€.

Il suffit alors de calculer le :

FCF yied = (FCF moyen) / P                 (B).

et d’examiner s’il est assez grand pour vous.

En résumé, réservez les formules compliquées aux analystes professionnels, les étapes (A) et (B) sont suffisantes, éventuellement en utilisant l’équation (10), ou un peu plus compliqué la (7ter).

A l’instar des physiciens, nous nous sommes faits adeptes de l’adage “mieux vaut faire un calcul approximatif et juste qu’un calcul précis et faux”.

A bientôt, je l’espère, pour l’analyse d’une société de croissance.

JL – 18 octobre 2015.

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  1. Après une discussion avec Ben Gramah, je concède qu’il s’agit peut-être d’un élève de mathématiques supérieures. Ce qui pourra d’ailleurs alimenter l’idée que (depuis Jules Ferry) le niveau baisse. []

18 Responses to La méthode des DCF ?

      • Geronimo

        La fin de l’article m’y a fait penser :

        Un homme d’affaires engage un mathématicien, un informaticien et un physicien afin de pouvoir gagner à tous les tiercés.

        Le mathématicien le premier s’attaque à la tâche, il calcule des matrices à n’en plus finir et après de longues semaines de lemmes, théorèmes et conjectures, il conclut que le problème ne peut être résolu.

        L’informaticien après avoir écrit quantités d’algorithmes en C et introduit tous les paramètres et conditions initiales annonce joyeusement qu’il faudra juste quelques centaines d’années pour calculer le résultat de chaque tiercé…

        Le physicien, le sourire aux lèvres, informe ses éminents collègues qu’il a la solution. Il s’approche d’un tableau noir et tout en dessinant une sphère commence par dire : “Approximons le cheval par une sphère parfaite…”

  1. Roman

    Rhoo, et dire encore une fois que vous aviez fait semblant de ne pas comprendre ce que contango voulait dire 🙂 !

    Vous devriez vous intéresser à l’analyse quantitative, vous auriez l’occasion de faire plein de maths !

    Amicalement,

    R.

    • Jerome Leivrek Post author

      Ben non, promis je ne sais pas ce que signifie contango. Du coup je viens d’aller voir la définition : “Le terme contango fait référence à une condition particulière de marché dans laquelle le prix d’un forward ou d’un future s’échange à un prix supérieur au prix spot attendu au moment où la maturité du contrat sera atteinte. La courbe de future ou de forward qui en résulte a alors une pente positive, puisque plus leur maturité est lointaine, plus ces contrats se vendent à des prix élevés.”
      Heuuu… ça semble intéressant. 🙂

  2. Bibike

    Bonjour Jérôme,
    Vous serait-il possible d’enrichir votre article avec un exemple chiffré tout au long de l’application des différentes formules ?
    Merci d’avance !

    • Jerome Leivrek Post author

      Bonjour Bibike,
      Il sera plus formateur pour vous d’appliquer vous-meme les formules, par exemple avec F1=5 M€ à FN=8 M€ de FCF en 6 ans, t = 10 %, et de calculer chaque étape. Je vous promets alors de vérifier si vos calculs sont justes !
      JL

  3. Bibike

    Bonjour Jérôme,
    C’est bien ce que j’ai essayé de faire avec difficulté avant de vous écrire! Mon niveau de maths est si déplorable que je ne comprends quasiment rien aux équations…
    Merci pour votre proposition en tout cas! Et attention aux yeux.
    Donc 1ère formule : Fn/(1+t)^n
    5 M€ / (1+10%)^1 = 4.545 M € la valeur d’aujourd’hui du FCF dans un an
    Et dès la 2ème ça se complique…
    Somme de quoi ? x Fn / (1+t)^n
    Avec des chiffres = somme de ??? x 5 M€ / (1+10%)^1
    Et voilà… Si vous pouvez éclairer ma caverne pour cette 2ème équation… :/ Merci d’avance

    PS : “FN=8 M€ de FCF en 6 ans” je ne comprends pas de quoi il s’agit, est-ce le flux de la 6ème année et dans ce cas je dois trouver le taux de croissance entre la 1ère et la 6ème ?

    • Jerome Leivrek Post author

      Bonjour Bibike

      Sans croissance.

      Je suppose que vous voulez calculer la formule (1) de mon article.
      La valeur aujourd’hui du FCF dans un an est = F1/(1+10%)^1
      La valeur aujourd’hui du FCF dans deux ans est = F2/(1+10%)^2
      La valeur aujourd’hui du FCF dans trois ans est = F3/(1+10%)^3

      La valeur aujourd’hui du FCF dans n ans est = Fn/(1+10%)^n
      etc jusqu’à l’infini.
      Pour avoir le DCF on ajoute tout ça.

      Si on suppose que les flux sont constants : F1 = F2 = … = Fn = 5 M€, alors
      La valeur aujourd’hui du FCF dans un an est = 5 M€ /(1+10%)^1
      La valeur aujourd’hui du FCF dans deux ans est = 5 M€ /(1+10%)^2
      La valeur aujourd’hui du FCF dans trois ans est = 5 M€ /(1+10%)^3

      La valeur aujourd’hui du FCF dans n ans est = 5 M€ /(1+10%)^n
      etc jusqu’à l’infini.
      Pour avoir le DCF on ajoute tout ça.

      Calculez cette somme (en vous arrêtant un peu avant l’infini). Vous allez trouver presque 5 M€/10% = 50 M€. C’est la formule (3).

      Avec croissance.

      Oui FN=8 est le flux de la 6e année (N=7 car c’est 6 ans après l’année 1). Donc effectivement, il faut trouver le taux de croissance. Pour ça on fait 8 = 5 * (1+t)^6. Pour trouver t on prend le log base 10 :
      log(8/5)=6 log(1+t) d’où t = 10^(log(8/5) / 6) – 1 = 8,15 %.
      Dans ce cas les flux sont donc :
      F1 = 5 M€
      F2 = 5 M€ * (1+ 8,15 %) = 5,4 M€
      F3 = 5 M€ * (1+ 8,15 %)^2 = 5,8 M€
      F4 = 5 M€ * (1+ 8,15 %)^3 = 6,3 M€
      F5 = 5 M€ * (1+ 8,15 %)^4 = 6,8 M€
      F6 = 5 M€ * (1+ 8,15 %)^5 = 7,4 M€
      F7 = 5 M€ * (1+ 8,15 %)^6 = 8,0 M€
      F8 = 8,0 M€
      F9 = 8,0 M€
      F10 = 8,0 M€
      etc jusqu’à l’infini.

      Ensuite il faut reprendre :
      La valeur aujourd’hui du FCF dans un an est = 5 M€ /(1+10%)^1
      La valeur aujourd’hui du FCF dans deux ans est = 5,4 M€ /(1+10%)^2
      La valeur aujourd’hui du FCF dans trois ans est = 5,8/(1+10%)^3

      La valeur aujourd’hui du FCF dans n ans est = 8/(1+10%)^n
      etc jusqu’à l’infini.
      Pour avoir le DCF on ajoute tout ça.
      Je trouve 71,3 M€.
      C’est substantiellement plus que sans croissance.

      Avec la formule approchée (9) je trouve:
      V = 8 M€ / 10 % – 7 *(8 M€ – 5 M€) / 2 = 69,5 M€.
      C’est proche du résultat exact. Largement assez par rapport aux autres incertitudes.

  4. Bibike

    Bonjour Jerome,

    Merci beaucoup pour le détail, oui je bloquais sur la somme de la formule (1), somme qui n’est autre que la somme des FCF sur un nombre d’années que l’on choisit si je comprends bien.
    Si on suppose que les flux sont constants : F1 = F2 = … = Fn = 5 M€, alors
    La valeur aujourd’hui du FCF dans un an est = 5 M€ /(1+10%)^1 = 4.55
    La valeur aujourd’hui du FCF dans deux ans est = 5 M€ /(1+10%)^2 = 4.13
    La valeur aujourd’hui du FCF dans trois ans est = 5 M€ /(1+10%)^3 = 3.76
    La valeur aujourd’hui du FCF dans quatre ans est = 5 M€ /(1+10%)^4 = 3.42
    La valeur aujourd’hui du FCF dans cinq ans est = 5 M€ /(1+10%)^5 = 3.10

    Ce qui me manque ici c’est comment on rajoute la valeur terminale (le flux à l’infini) ?
    Certes cela n’a pas d’intérêt dans le DCF sans croissance puisqu’il suffit d’utiliser la formule simplifiée (3) mais je me pose cette question pour le DCF avec croissance.
    Au bout de 25 ans tirés dans Excel on arrive à la somme de 45.39 M€.

    Ok pour la formule 3 la plus simple qu’on utilise pour faire un DCF sans croissance : 5 M€ / 10% = 50 M€

    Hypothèse d’une croissance constante
    Pour la formule (4) Gordon & Shapiro : 5 M€ / (10% – 2% de croissance) = 62.50 M€ alors que le même flux de 5M€ sans croissance vaut 50M€ actualisé à 10%

    Pour calculer le taux de croissance, là vous m’avez complètement perdu, je ne sais pas ce que c’est que “log”, j’ai arrêté les maths en seconde avec 4 de moyenne, 2 points pour mon nom et prénom + 1 point pour ma présence et 1 pour mon sourire. 🙂

    “8 = 5 * (1+t)^6” ok pour cette relation
    “Pour trouver t on prend le log base 10 : log(8/5)=6 log(1+t) d’où t = 10^(log(8/5) / 6) – 1 = 8,15 %.” Ca je ne comprends pas grand chose.

    Votre formule “t =” calcule bien 8.15% dans Excel mais le “LOG base 10” cela me dépasse. :/

    Dans les flux que vous avez calculés ensuite pourquoi avez-vous utilisé un taux de croissance de 19.8% et pas 8.15% ?
    A ce sujet vous arrivez à 8M€ en année 7 car votre 1ère année F1 n’a pas de croissance, pour mon petit cerveau je préfère considérer le flux de référence en année 0 et la croissance dès la première année F1.

    Dans ce cas les flux sont donc :
    F0 = 5 M€ de référence que je ne compte pas c’est un flux de historique que l’on possède déjà
    F1 (dans un an) = 5 M€ * (1+ 8.15 %) = 5,4 M€ actualisé ça fait 5.4 / 10^1 = 4.92
    F2 = 5 M€ * (1+ 8.15 %)^2 = 5,8 M€ / 10^2 = 4.83
    F3 = 5 M€ * (1+ 8.15 %)^3 = 6,3 M€ / 10^3 = 4.75
    F4 = 5 M€ * (1+ 8.15 %)^4 = 6,8 M€ / 10^4 = 4.67
    F5 = 5 M€ * (1+ 8.15 %)^5 = 7,4 M€ / 10^5 = 4.59
    F6 = 5 M€ * (1+ 8.15 %)^6 = 8,0 M€ / 10^6 = 4.52
    F7 = 8,0 M€ / 10^7 = 4.11
    F8 = 8,0 M€ / 10^8 = 3.73
    F9 = 8,0 M€ / 10^9 = 3.39
    F10 = 8,0 M€ / 10^10 = 3.08
    etc jusqu’à l’infini.
    La valeur actuelle des 10 premières années dont 6 avec croissance est de 42.60 M€.
    Si je tire tout cela dans Excel, à la 77ème année j’ai un flux de 0.01 M€ et la somme des flux actualisés est de 73.39 M€ (donc je suis loin de vos 87.7M€). Je peux tirer la formule jusqu’à 150 ans, ça ne change quasiment plus rien à la valeur actuelle tant le flux futur est éloigné et sa valeur réduite à néant.

    Plutôt que de calculer chaque année jusqu’à l’infini, je préférerai calculer le flux de l’année F7 à l’infini en une seule formule.
    Comme la formule du DCF sans croissance : 8M€/10 % = 80 M€ mais comment tenir compte des quelques années avec croissance déjà calculées ?
    Je les calcule d’abord sans croissance année par année sur les 6 premières années puis je fais la formule sans croissance de Gordon moins la valeur actuelle des 6 premières années sans croissance + les 6 années avec croissance ?

    Cela ferait ceci :
    Décomposition de la valeur des 6 premières années sans croissance :
    F1 = 8 M€ / 10^1 = 7.27
    F2 = 8 M€ / 10^2 = 6.61
    F3 = 8 M€ / 10^3 = 6.01
    F4 = 8 M€ / 10^4 = 5.46
    F5 = 8 M€ / 10^5 = 4.97
    F6 = 8 M€ / 10^6 = 4.52
    La somme fait : 34.84

    DCF Gordon et Shapiro sur la base d’un flux de 8 M€ : 8 / 10% = 80 M€

    Calcul de la valeur des 6 premières années en croissance à partir d’un flux de 5 M€ :
    F1 = 5 M€ * (1+ 8.15 %)^1 = 5,4 M€ / 10^1 = 4.92
    F2 = 5 M€ * (1+ 8.15 %)^2 = 5,8 M€ / 10^2 = 4.83
    F3 = 5 M€ * (1+ 8.15 %)^3 = 6,3 M€ / 10^3 = 4.75
    F4 = 5 M€ * (1+ 8.15 %)^4 = 6,8 M€ / 10^4 = 4.67
    F5 = 5 M€ * (1+ 8.15 %)^5 = 7,4 M€ / 10^5 = 4.59
    F6 = 5 M€ * (1+ 8.15 %)^6 = 8,0 M€ / 10^6 = 4.52
    La somme des 6 premières années : 28.28 M€

    Ainsi le DCF ferait : 80 – 34.84 = 45.16 M€ = la valeur terminale de la 7ème année à l’infini (flux de 8 M€ sans croissance)
    + la période de croissance des 6 premières années :
    45.16 + 28.28 = 73.44 M€ on est très proche des 73.39 M€ que je disais retrouver en tirant la formule Excel jusqu’à la 77ème année.
    73.4 M€ est supérieur au DCF sans croissance de 5 M€ /10% = 50 M€ logique
    Et est inférieur au DCF de 8/10% = 80 M€ logique aussi puisqu’on part d’un flux de 5M€ pour atteindre 8M€ en vitesse de croisière.

    Du coup je ne comprends pas votre dernière formule en termes de relations, ni son résultat qui me semble trop élevé.

    A bientôt et merci pour l’échange.

    • Jerome Leivrek Post author

      Bonjour Bibike,

      1. Valeur à l’infini
      Bonne question !
      Choix 1. Vous n’allez pas à l’infini, vous arrêtez la somme à une année n, puis vous ajoutez la valeur de la société à l’année n, et l’actualisez cette valeur à maintenant. Je ne sais pas comment on évalue la valeur d’une société à l’année n. Donc je fais le choix 2.
      Choix 2. Vous allez jusqu’à l’infini. Dans ce cas, pas besoin d’avoir une “valeur à l’infini”, car sa valeur actualisée est zero de toutes façon.
      Pour le cas avec croissance, c’est pareil, vous sommez jusqu’à l’infini.
      Vous ne pouvez pas aller vraiment à l’infini, mais vous voyez déjà qu’avec 25 ans vous avez une bonne approximation. Dans la pratique vous allez de plus en plus loin jusqu’à ce que votre valeur ne change plus trop.

      2. Gordon & Shapiro : oui ca fait bien ~62 M€.

      3. Le log base 10 (logarithme en base 10) c’est l’inverse de la puissance 10.
      Tres utile pour trouver des rendements.
      Exemple :
      Si je vous dis que 10^t = 20, et que je vous demande combien vaut t, la réponse est t=log(20). La touche log est sur toutes les machines et vous trouvez log(20)=1,3.
      Avec 10^t= x la réponse t = log(x).

      4. Pour aller plus loin et résoudre la relation: 8 = 5 * (1+t)^6. C’est-à-dire connaitre la croissance, sachant les valeurs de début et fin. Pour résoudre ça il faut connaitre cette propriété du log :
      lob(a^x)=x*log(a)
      Si vous divisez par 5 la relation et prenez le log : log(8/5)=log((1+t)^6) vous arrivez alors à :
      log(8/5)= 6* log(1+t) donc
      log(1+t) = log(8/5) / 6
      Ensuite pour connaitre 1+t il faut prendre la puissance de 10 puisque log et puissance 10 sont les opérations inverses l’une de l’autre, donc :
      1+t=10^(log(8/5) / 6)
      D’ou le résultat.

      4. Le 19.8% au lieu du 8,15 % c’était une coquille. Bien vu, j’ai corrigé.

      5. On peut partir de 0 au lieu de 1, mais ça ne correspond plus tout à fait à l’exemple que j’avais choisi (je supposais que les 5 M€ étaient pour l’année qui arrivait, pas celle qui venait de passer)

      6. Dans vos formules, il faut remplacer /10^n par /1,1^n mais c’est une coquille car votre résultat est bons.

      Suite dans un prochain message.

      • Jerome Leivrek Post author

        Suite.

        7. Pour les 10 premières années, je trouve 39,7 40,47 M€. C’est lié au décalage de la première année.

        8. Oui, comme je le disais plus haut, ce n’est pas la peine d’aller jusqu’à l’infini 🙂 au bout d’un certain nombre d’années le résultat ne change plus.

        9. Je m’étais trompé dans le % retenu dans la formule approché. J’ai changé dans ma 1ere réponse.
        Avec la formule exacte, je trouve 68,2 71,31 M€.
        Avec la formule approchée (9) je trouve 69,5 M€.
        C’est très proche.

        La différence avec vous, c’est que j’ai considéré que les 5 M€ étaient pour l’année à venir et non pour l’année échue. C’est normal que vous trouviez plus puisque votre croissance commence un an plus tot.

        10. Vous écrivez : “Plutôt que de calculer chaque année jusqu’à l’infini, je préférerai calculer le flux de l’année F7 à l’infini en une seule formule.” C’est exactement ce que j’ai voulu faire dans cet article ! Avoir une relation approchée qui évite de faire des sommes… Mais votre question pointe le fait qu’il existe une formule intermédiaire à écrire. Je vais le faire.

        11. Vous écrivez : “Je les calcule d’abord sans croissance année par année sur les 6 premières années puis je fais la formule sans croissance de Gordon moins la valeur actuelle des 6 premières années sans croissance + les 6 années avec croissance ?”
        Oui c’est exactement ça. Je le préciserai dans la nouvelle formule.

        12. Je crois que votre calcul final est juste. Si vous partez de 5 M€ à l’année 1 au lieu de 0 vous devriez trouver comme moi.

        A suivre pour la formule à ajouter.

  5. Bibike

    Merci pour vos réponses et l’échange constructif Jérôme !

    3. Merci pour l’explication du logarithme base 10, je comprends mieux avec votre explication et effectivement c’est quelque chose que j’ai cherché longtemps sans trouver, vouloir un capital X dans 10 ans, partir d’un calcul Y aujourd’hui et voir quel rendement moyen on est censé faire pour rallier l’arrivée, merci beaucoup !
    Si je réutilise votre LOG 10 pour savoir quel rendement moyen dois-je générer sur 9 ans pour transformer 100 en 450 cela donne :
    =10^LOG(450/100)/9-1 = 18.19% est-ce bien cela ?
    PS : plutôt que de faire 10^LOG(K fin/K début)/nombre d’années-1 j’ai essayé la fonction LOG10 dans Excel en écrivant =LOG10(K fin/K début)/nombre d’années-1 mais je ne trouve pas le même résultat qu’en écrivant =10^LOG(K…).

    “Si je vous dis que 10^t = 20, et que je vous demande combien vaut t, la réponse est t=log(20). La touche log est sur toutes les machines et vous trouvez log(20)=1,3.
    Avec 10^t= x la réponse t = log(x).”

    >> Ok j’ai reproduit les calculs mais ce que je ne comprends pas c’est le résultat, +30% ou 1.3.
    On ne sait pas combien il y a d’années entre le flux de 10 et le flux de 20. Donc un rendement de 30% sur un flux de 10 pour atteindre 20 sans connaitre le nombre d’années… cela je ne comprends pas ?

    “4. Pour aller plus loin et résoudre la relation: 8 = 5 * (1+t)^6. C’est-à-dire connaitre la croissance, ….D’ou le résultat.”

    >> j’ai un peu de mal à tout comprendre votre explication précitée, je vais devoir relire demain… 😉 mais si j’ai compris (?) le LOG10 avec mon exemple de calcul de rendement sur 9 ans évoqué plus haut ce sera déjà bien pour une veille de fête du travail… 🙂

    5. Pour coller à votre exemple, si je compte 5M€ en année 1 puis je fais commencer la croissance de 8.15% en année 2 alors j’obtiens 40.47M€ pour mes 10 premières années de DCF, la première le flux à 5 M€ + 6 ans de croissance à 8.15% + les 3 dernières années sans croissance à 8 M€ de FCF.
    Vous dites dans votre point 7. trouver 39.7 M€, on a un écart de 0.7M€ certes c’est peu mais cela m’étonne puisqu’on est censé avoir fait exactement le même DCF sur 10 ans.
    Mes Flux et VA par année sont :
    année 1 : 5 et 4.55
    année 2 : 5.41 et 4.47
    année 3 : 5.85 et 4.39
    année 4 : 6.32 et 4.32
    année 5 : 6.84 et 4.25
    année 6 : 7.40 et 4.18
    année 7 : 8.00 et 4.11
    année 8 : 8.00 et 3.73
    année 9 : 8.00 et 3.39
    année 10 : 8.00 et 3.08
    Total de flux = 68.82 M€
    Valeur actuelle à 10% = 40.47 M€

    6. Oui coquille dans ma réécriture textuelle des formules, merci !

    7. Ok vu au 5.

    9. “Avec la formule approchée (9) je trouve:
    V = 8 M€ / 10 % – 7 *(8 M€ – 5 M€) / 2 = 69,5 M€.”
    >> Dans cette formule, le “7” correspond-il aux 7 années de croissance entre le flux de 5M€ et le flux de 8M€ ? Pourquoi on actualise pas à 10% cette partie de l’opération ?
    A quoi correspond le “/ 2” à la fin de l’opération ?

    Vous trouvez 69.5 M€ avec la formule 9., en refaisant le DCF avec F1 = 5 et la croissance qui commence en F2 alors je trouve 71.26 en tirant chaque année dans Excel jusqu’à la 77ème et je trouve 71.31 avec la méthode “soustractive” : la formule sans croissance de Gordon moins la valeur actuelle des 7 premières années sans croissance + les 7 premières années dont 6 avec croissance.
    Nos résultats sont proches mais pouvez-vous m’expliquer svp à quoi correspondent le “7” et le “/2” dans 9. ?

    10. et 11. Ok parfait merci je vais regarder votre formulation !

    12. en modifiant mon planning pour le coller au votre, mon DCF tombe à 71.3 mais je suis toujours supérieur à votre 68.2, je vais vous envoyer mon Excel par email dans la foulée.

    Ok pour 7bis et 7Ter merci ! J’ai compris le texte mais je digérerai la relation demain là c’est trop dur pour l’heure ^^

    Encore merci

    • Jerome Leivrek Post author

      3. Oui il faut faire =10^(LOG(450/100)/9)-1 et cela donne bien 0,1819.
      Plusieurs remarques :
      – je vous conseille de bien mettre toutes les parenthèses comme dans mon écriture
      – LOG et LOG10 c’est la meme chose (en tout cas dans mon tableur)
      – donc vous pouvez faire =10^(LOG10(450/100)/9)-1 (mais pas LOG10(450/100)/9-1)

      log(20)=1,3. Ce calcul etait totalement découplé d’un calcul de rendement. C’était juste pour expliquer en quoi consistait un logarithme. La confusion vient du fait que j’ai utilisé le meme nom de variable t, j’aurais du prendre y.

      5. Oui vous avez raison, je trouve 40,47 M€. J’ai dû oublier de corriger une première version de mon texte, désolé.

      9. Oui le N = 7 correspond à l’année numéro 7, étant donné que l’année 1 est celle des 5 M€. Il n’y a donc que 6 années de croissance.

      “Pourquoi on actualise pas à 10% cette partie de l’opération ?
      A quoi correspond le “/ 2” à la fin de l’opération ?”
      Cette relation (9) est une relation approchée, je l’ai établie pour qu’elle soit simple, elle sort du calcul et l’idée maintenant est l’appliquer sans chercher à la relier à quelque chose de simple.
      Mais si vous voulez toutefois la comprendre, relisez l’interprétation que j’en donne dans l’article (notamment pour le facteur 2). Pour mieux comprendre cette interprétation, vous pouvez essayer de dessiner les points Fn sur un graphe en fonction de n. L’approximation faite correspond à une augmentation linéaire des Fn entre 1 et 7. La différence des FN-Fn dessine une sorte de triangle. Et l’aire du triangle est la demi-somme du rectangle.

      Il parait effectivement logique d’actualiser la 2e partie de la somme, probablement avec un nombre d’années égal à N/2. Il reste toutefois à montrer cette relation mathématiquement en partant de (8). Et notamment montrer que l’approximation est alors meilleure que la relation (9). Je ne l’ai pas fait.

      En faisant cela, vous allez gagner un peu en précision, mais vous allez perdre en simplicité. Vous trouverez quelque chose entre 69,5 et 71,3. La différence est petite et ne justifie pas, je pense, de complexifier la formule. En effet, les hypothèse faites (croissance nulle pour n>7, valeur de t, de c…) sont de toute façon sources d’erreurs bien plus grandes.

      12. Vous avez raison. Je trouve aussi 71,31. Comme pour la question 5, j’ai dû oublier de corriger une première version de mon texte, désolé.

      Voilà 🙂

  6. Bibike

    Bonjour Jerome,

    3. : ok parfait merci pour les explications sur le logarithme. Je vais m’amuser !

    9. Ok pour le concept de formule approchée. Par contre je l’ai utilisée dans un tableur avec d’autres flux avec décroissance violente (type impact COVID) puis croissance forte et le résultat est éloigné de 20 à 30% de la formule non simplifiée, c’est ce qui m’étonne.

    Dans tous les cas je vous remercie beaucoup, oui j’ai beaucoup progressé grâce à votre aide et je vais pouvoir jouer à modéliser des scénarios d’impacts du COVID…

    A bientôt !

    • Jerome Leivrek Post author

      9. Ca ne m’étonne pas. La formule approchée est d’autant moins valable que la croissance (ou la décroissance) est importante. Il faut l’utiliser pour une croissance raisonnable et un nombre d’années de croissance de quelques unités.
      Amusez-vous bien.

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